metode numerik

"METODE NUMERIK SISTEM PERSAMAAN NON LINIER"

 

A.    METODE BISEKSI

            

             Metode Biseksi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier. Metode Bidang Bebas’ atau lebih spesifik lagi ‘Metode Bidang Paruh’ (Bisection).

Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui proses iterasi dengan persamaan :

·         (2.1)  X_c = (X_a + X_b)/2

·         (2.2)  dimana nilai f(X_a).f(X_b) < 0

Prinsip Utama Metode Biseksi  Sebagai Berikut:

1.      Menggunakan dua buah nilai awal untuk mengurung salah satu/ lebih akar persamaan non linier.

2.      Nilai akarnya diduga melalui nilai tengah antara dua nilai awal yang ada.

Kelemahan metode biseksi :

1.      Jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan satu persatu/tidak bisa sekaligus.

2.      Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).

3.      Proses iterasi tergolong lambat.

Algoritma Metode Bisection :

1.      Langkah pertama, menentukan dua nilai x (x_a dan x_b ) sebagai nilai awal perkiraan. Kedua nilai ini harus memenuhi syarat persamaan 2.2.

2.      Langkah kedua, jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai x (misal x_c ) baru menggunakan persamaan 2.1

3.      Langkah ketiga, mencari nilai f(x_c )

4.      Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(x_c ) = 0 atau mendekati 0.

Langkah Penyelesaian :

1.      Tentukan nilai awal a dan b

2.      Cek konvergensi nilai f(a) dan f(b)

a.       Jika tanda f(a) ≠ tanda f(b), nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya

b.      Jika tanda f(a) = tanda f(b), pilih nilai awal yang baru

3.      Lakukan iterasi

4.      Hitung nilai tengah (c) antara a dan b, dimana c = (a + b)/2

5.      Cek konvergensi nilai c

a.       Jika terdapat XTOL, dibandingkan XTOL dengan Erc

Erc= cn-cn-1

/ cn

b.      Jika terdapat FTOL, dibandingkan FTOL dengan f(cn)

c.       Jika nilai cn-1 dan cn konstan

d.      Jika nilai f(cn) = 0

6.      Jika belum konvergen juga , tentukan nilai awal baru dengan cara:

a.       Jika tanda f(c) = tanda f(a) maka c akan menggantikan a

b.      Jika tanda f(c) = tanda f(b) maka c akan menggantikan b

B.     METODE SECANT

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.

f’ (X) =( f (Xn) – f (Xn-1)) / (Xn – Xn-1)
Xn+1 = Xn – ( (f(Xn) (Xn – Xn-1)) / ( f(Xn) -f(Xn-1) )

Tujuan dan Fungsi

·         Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu f‘ (x).

·         Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope.

Algoritma Metode Secant

1.      Definisikan fungsi F(x)

2.      Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3.      Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya  gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

4.      Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1

5.      Untuk iterasi I = 1 s/d n atau | F(xn) |
Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)

6.      Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

Langkah penyelesaian:

a.       Tentukan nilai awal x₀ dan x₁

b.      Hitung f(x₀) dan f(x₁), kemudian cek konvergensi f(x₀) dan f(x₁)

c.       Lakukan iterasi

d.      Hitung nilai taksiran akar selanjutnya.

C.    METODE REGULA FALSI

Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan:

Algoritma metode regula false :
1. tentukan nilali awal a dan b
2. cek knvergensu nilai f(a) dan f(b)
    a. jika randa f(a) tidak sama dengan tanda f(b) nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya
    b. jika tanda f(a) sama dengan tanda f(b), pilih nilai awal yang baru
3. lakukan iterasi
4. Hitunglah nilai tengah (c) antara a dan b, dimana c = a + w(b-a) dengan w = f(a) / (f(a) - f(b))
5. cek konvergensi nilai c
    a. jika terdapatXtol, bandingkan Xtol dengan Erc, Erc = (Cn - Cn-1) / Cn
    b. Jika terdapat Ftol bandingkan Ftol dengan F(Cn)
    c.Jika nilai Cn-1 dan Cn konstan 
    d. Jika nilai f(Cn) = 0
6. jika belum konvergen juga, tentukan nilai awal baru dengan cara :
    a. Jika tanda f(C) sama dengan tanda f(a) maka c akan menggantikan a
    b. Jika tanda f(C) sama dengan tanda f(b) maka c akan mengantikan b

D.    METODE NEWTON REPSON

Metode Newton Rapson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal, dan mendekatinya dengan memperhatikan kemiringan pada titik tersebut. Secara geometri metode ini menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang, dengan menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) terlebih dahulu, metode ini paling banyak digunakan untuk menarik akar-akar dari persamaan f(x) = 0 dengan asumsi f(x), f’(x), f’’(x) kontinu dekat satu akar p. akar dari persamaan adalah titik potong garis singgung pada titik (xi, f(xi))

Algoritma Newton-Raphson:
1. Menentukan suatau persamaan non-linier / f(X).
2. memberikan nilai error toleransi(e) dan batasan pengulangan(ulang)
3. Memberikan nilai terkaan awal(X0)
4. mencari turunan dari persamaan non-linier tersebut / f(X)'.
5. mulai dari awal perulangan( j=1 sampai ulang  lakukan :
    a. hitung nilai f(Xj) jika nilai f(Xj) < e maka Xj merupakan solusi akar persamaan non-linier tersebut
    b. jika nilai f(Xj) > e maka hitung :
        Xj+1 = Xj - f(Xj) / f(Xj)'.
        b.1 hitung nilai f(Xj+1) 
        b.2 jika nilai f(Xj+1) < e maka Xj+1 merupakan solusi akar persamaan.

langkah penyelesaian :

1. Tentukan titik awal yang digunakan (x0)

2. Turunkan fungsi f(x) agar mempermudah perhitungan

3. Hitung nilai f(x_n-1) dan f ‘ (x_n-1). Maksudnya jika iterasi ke-1 maka cari nilai f(x0) dan f ‘ (x0). Jika iterasi ke-3 maka cari nilai f(x2) dan f ‘ (x2)

4. Hitung nilai xn sesuai dengan rumus Metode Newton-Raphson

5. Hitung error dengan perkiraan terbaiknya

6. Lakukan iterasi hingga f(x_n-1) = 0 atau sesuai dengan iterasi yang akan dilakukan.